Podstawy cyfrowego modelowania falowodowego
Falowodowe modelowanie struny
Falowodowe modelowanie instrumentów dętych
Schematy cyfrowych modeli falowód dla instrumentów muzycznych
Przykłady zastosowania metody w konkretnych urządzeniach
| Podstawy cyfrowego modelowania falowodowego | |
Metoda modelowania falowodwego należy do grupy metod modelowania fizycznego. Została opracowana na początku lat 90-tych przez Smitha na Uniwerytecie Stanford.
We wszystkich instrumentach muzycznych występują fale bierzące. W instrumentach strunowych przemieszczają się one wzdluż strun, w instrumentach dętych wzdłuż cylindrycznej tuby. W obu tych przypadkach fale propagują jednocześnie w obu kierunkach. Fizyczne struktury, przenoszące te fale, nazywamy falowodami i możemy o nich myśleć również jako o liniach transmisyjnych.
Istotą metody jest to, iż falowody mogą być łatwo implementowane w sposób cyfrowy za pomocą linii opózniających. Tak więc cyfrowe modele syntezy falowodowej dla poszczególnych instrumentów ( strunowych i dętych ) zbudowane są z linii opózniających, filtrów cyfrowych i często z elementów nieliniowych.
Typowe cechy cyfrowego modelu falowodowego:
Wykorzystanie spróbkowanych fal bierzących;
Odwzorowywanie geometrii i fizycznych właściwości pożądanego systemu akustycznego;
Najefektywniejsze dla mało stratnych systemów;
Skupianie strat i dyspersji w obrębie całego falowodu lub jego częsci.
Powrót
| Falowodowe modelowanie struny | |
Dla nieskończenie dlugiej, idealnie giętkiej, sprężystej i bezstratnej struny możemy zapisać równanie falowe. Opisuje ono przemieszczenie "y" takiej struny:
y - wychylenie struny;
K - naprężenie struny;
E - liniowa gęstość masy;
x - współżędne osi równoległej do struny.
Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać:
Jest to superpozycja dwóch fal bieżących, przemieszczających się w przeciwnych kierunkach na osi x, z prędkością propagacji c.
Po spróbkowaniu tych fal, oraz dodatkowo upraszczając równanie otrzymujemy postać:
Wyrażenie y+(n-m) może być interpretowane jako bieżąca wartość próbki na wyjściu linni opóźniającej o m próbek, na wejście której podano sygnał y+(n). Podobnie traktujemy wyrażenia y-(n+m) oraz y-(n). Możemy to zamodelować przy użyciu dwóch kaskad opóżnień jednostkowych:
|
|
Rys.1 Cyfrowa symulacja bezstratnego falowodu z punktami obserwacji x=0 oraz x=3X=3cT. |
Po uwzględnieniu strat struny otrzymujemy:
|
|
Rys.2 Cyfrowa symulacja stratnego falowodu,ze stratami skupionymi w obrębie dwóch okresów próbkowania. |
Każda rzeczywista struna zakończona jest obustronnie zakończona. Uwzględnia to poniższy model. Kaskadę pojedynczych opóźnień możemy
zastąpić linią opóźniającą.
Straty w strunie zależą od częstotliwości ( wzrastają wraz ze wzrostem częstotliwości ) dlatego w celu ich zasymulowania należy posłużyć
się dolnoprzepustowym filtrem cyfrowym. Idealnie sztywne zakończenia struny modeluje się za pomocą inwerterów.
|
|
Rys.3 Model struny o idealnie sztywnych zakonczeniach. Filtr dolnoprzepustowy modeluje tłumienie i opadanie dźwięków. |
Przykład 1
(71kB) prezentuje serię dźwięków uzyskanych w tym prosym modelu. W pierwszym przypadku struna jest szarpana najbliżej mostka, następnie coraz dalej od niego, aż do środka struny w ostatnim przypadku.
Przykład 2(90kB) prezentuje dźwięk uzyskany w modelu wzbogaconym o efekt distortion i sprzężenie zwrotne.
W przykładzie tym strunę pobudzono do drgań poprzez szarpnięcie. Dwa pozostałe podstawowe pobudzenia to uderzenie młoteczkiem oraz pobudzenie smyczkiem.
Możliwe jest uproszczenie modelu struny w taki sposób, iż sygnał wyjściowy będzie reprezentowany jako sygnał jednej z symulowanych w falowodzie fal bieżących.
Prowadzi to do zmniejszenia złożoności obliczeniowej kosztem odejścia od bezpośredniej analogii struny rzeczywistej ( co nie ma jednak znaczącego wpływu na brzmienie dźwięku syntetycznego).
|
|
Rys.4 Zmodyfikowany model struny, z wyjściem zastąpionym wyjściem quasi-fizycznym. |
Działanie inwerterów nie ma wpływu na sygnał wyjściowy w powyższym modelu. Ponadto obie linie opóźniające mogą być połączone w jedną o dwukrotnie większym czasie opóźnienia. Stąd dalsze uproszczenia:
|
|
Rys.5 Uproszczony model struny z wyjściem quasi-fizycznym oraz pojedynczą linią opóźniającą. |
W celu zamodelowania strat zależnych od częstotliwości stosujemy filtr dolnoprzepustowy o skończonej odpowiedzi impulsowej. Jest to model opracowany w 1983 roku przez Karplusa oraz Stronga. Jako pobudzenie modelu zastosowali oni paczkę szumu białego. Model ten można uzupełnić o filtr wszechprzepustowy co pozwoli na uwzględnienie dyspersji.
|
|
Rys.6 Model Karplusa - Stronga struny wzbogacony o filtr wszechprzepustowy modelujący dyspersję. |
Powrót
| Falowodowe modelowanie instrumentów dętych | |
Falowodowe modelowanie instrumentów dętych jest bardzo zbliżone do modelowania instrumentów strunowych. Zakładamy, iż fala płaska rozchodzi się
wewnątrz nieskończenie długiego cylindra. Możemy zapisać dla niej jednowymiarowe równanie falowe, w formie cząstkowego równania różniczkowego:
c - prędkość propagacji dźwięku w powietrzu;
p - ciśnienie;
t - czas;
x - odległość wzdłuż osi korpusu piszczałki.
Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać:
Jest to superpozycja dwóch bieżących fal ciśnienia, przemieszczających się w przeciwnych kierunkach na osi x, z prędkością propagacji c.
|
|
Rys.7 Falowodowe modelowanie akustycznych ustrojów cylindrycznych: a) nieskończenie długi cylinder; b) falowód cyfrowy - para linii opóźniających. |
Możemy też modelować, w uproszczony sposób, cylinder o ograniczonej długości. Filtr Fa odpowiedzialny jest za modelowanie odbicia fal poniżej pewnej częstotliwości granicznej, a filtr Fb jest wyjściowym filtrem modelującym wypromieniowywanie fal o częstotliwości powyżej częstotliwości granicznej z cylindra. Możemy stosować daleko idące uproszczenia, ułatwiające implementację ( na przykład pominąc filtry wyjściowe oraz zastosować pojedynczą linię opóźniającą:
|
|
Rys.8 Modele cylindra: a) o ograniczonej długości; b) uproszczona struktura modelu cylindra o ograniczonej długości. Filtr odbijający został zastąpiony przez element skalujący o wartości g1 . |
Do zalet metody falowodowej należy łatwość modelowania korpusów instrumentów dętych przy pomocy elementów cylindrycznych. Dowolny profil instrumentu może być modelowany przy pomocy zestawu tub cylindrycznych.
Powrót
| Schematy cyfrowych modeli falowód dla instrumentów muzycznych | |
Instrumenty możemy podzielić na trzy grupy:
Strunowe (szarpane i uderzane):
|
|
Rys.9 Model instrumentu strunowego szarpanego. |
Smyczkowe:
|
|
Rys.10 Model instrumentu strunowego smyczkowego. |
Przykład 3
(248kB) Skrzypce.
Przykład 4
(160kB) Altówka.
Przykład 5
(217kB) Wiolonczela.
Przykład 5
(162kB) Kontrabas.
Dęte:
|
|
Rys.11 Model instrumentu dętego. |
Powrót
| Przykłady zastosowania metody w konkretnych urządzeniach | |
Sound Blaster Awe 64:
Karta ta posiada standardową syntezę OPL-2/OPL-3 (FM), syntezator sprzętowy EMU 8000 ( synteza tablicowa ) o 32-głosowej polifonii i dodatkowo programową syntezę falowodową Wave Guide, również 32-głosową. Karta posiada 14 wbudowanych modeli falowodowych róznych instrumentów.