Podstawowe pojecia metody matematycznej
Przyklady oraz próbki
Podstaw modelowania matematycznego instrumentów muzycznych jest równanie falowe opisujące drgania występujące w danym ośrodku fizycznym. W przypadku instrumentów dętych ośrodkiem tym jest słup powietrza ograniczony korpusem instrumentu. Dla przykładu, podstawowa postać jednowymiarowego równania falowego dla fali kulistej rozchodzącej się wewnątrz tuby o kształcie konicznym (rys.3.1), opisana jest zależnością [7]:
gdzie P jest ciśnieniem akustycznym będącym funkcją czasu i odległości (P = p (t,r)), gdzie r = x+x0, jak pokazano na rys.3.4.
Rys.3.4. Słup powietrza o kształcie konicznym [7].
Funkcja p(t) będąca rozwiązaniem równania falowego, opisującego zjawiska falowe zachodzące w danym instrumencie, jest jednocześnie przebiegiem czasowym dźwięku syntetycznego (w tym przypadku dla fal ciśnienia).
W praktyce, opis rzeczywistego instrumentu sprowadza się z reguły do szeregu równań różniczkowych (zwykle drugiego rzędu). Znalezienie rozwiązania tego typu układu równań w postaci przebiegu czasowego jest wymaga zastosowania złożonych algorytmów numerycznych, a co za tym idzie - dużych mocy obliczeniowych procesorów. Oddzielnym problemem jest dobór parametrów równań oraz niestabilność numeryczna (w zależności od zastosowanego algorytmu rozwiązywania równań różniczkowych).Jak już wcześniej wspomniano w modelach fizycznych instrumentów dętych można generalnie wyróżnić dwie części. Pierwszą z nich jest nieliniowa część modelu związana z incytatorem, drugą zaś jest część liniowa związana z rezonatorem. Na rys.3.5 przedstawiony został schemat modelu matematycznego piszczałki organowej uwzględniający tego typu podział (Nolle, Finch [8]). Podstawą do rozważań nad przedstawionym modelem były między innymi prace Coltmana [11], Schumachera [10], Fletchera [12], [13].
Przedstawiony model oscylacji zachodzących w piszczałce składa się z trzech części:
a) układu rezonatora w postaci prostych oscylatorów mechanicznych,
b) elementu opóźniającego (z wielkością opóźnienia zależną od częstotliwości), reprezentującego opóźnienie fal poprzecznych indukowanych w strumieniu powietrza,
c) elementu nieliniowego, reprezentującego nieliniową zależność pomiędzy strumieniem powietrza zasilającym rezonator, a przesunięciem strumienia względem wargi piszczałki.
Rys.3.5. Uproszczony model piszczałki organowej [8].
Sygnałem wyjściowym w przedstawionym na rys.3.5 modelu piszczałki jest strumień akustyczny określony zależnością [8]:
Składniki vi w powyższym równaniu odpowiadają numerycznie prędkościom oscylatorów mechanicznych będących modelem rezonatora instrumentu (korpusu piszczałki), (rys.3.5). Powstające w rezonatorze drgania wpływają na strumień powietrza pobudzający słup powietrza w rezonatorze do drgań. Powoduje to wzmocnienie odchylenia strumienia powietrza na wardze instrumentu i opóźnienie poprzecznej fali zaindukowanej w strumieniu pobudzającym. Opóźnienie to jest, w ogólności, zależne od numeru danego modu (dokładniej jego częstotliwości). Stąd też element opóźniający zastosowany w zaprezentowanym modelu wprowadza opóźnienie tdelay zależne od częstotliwości:
Po uwzględnieniu wspomnianych opóźnień i wzmocnień równanie opisujące wartość odchylenia strumienia na wardze instrumentu opisane jest zależnością [8]:
gdzie ti określa wnoszone opóźnienie, a gi wzmocnienie odchylenia strumienia na wardze instrumentu, dla i-tego modu. Zastosowany w omawianym modelu rezonator, dla uproszczenia rozważań, nie uwzględnia szeregu istotnych zjawisk zachodzących w samym korpusie instrumentu. Metody modelowania tych zjawisk, do których zalicza się między innymi wpływ kształtu korpusu na propagację fal akustycznych w jego wnętrzu (odbicia) i widmo generowanego dźwięku, zostaną opisane w dalszej części niniejszego rozdziału. W modelu z rys.3.5 rezonator symulowany jest przez trzy proste oscylatory, odpowiadające trzem modom generowanego sygnału (i = 1, 2, 3). Każdy z oscylatorów opisany jest przez jego sprężystość K, dobroć Q oraz masę M. Odchylenie strumienia powietrza na wardze instrumentu wywołuje zmienny przepływ strumienia powietrza ijet(t) do rezonatora (pobudzenie rezonatora do drgań), co opisane jest zależnością [8]:
Pojawiający się w zależności (3.5) czynnik:
opisuje aproksymowany stosunek prędkości strumienia powietrza w danej chwili do jej wartości końcowej, co wprowadza do rozważań wielkość P(t) związaną z ciśnieniem powietrza dostarczanego do instrumentu. Zależność (3.5) opisuje nieliniowość interakcji pomiędzy strumieniem powietrza wdmuchiwanego do instrumentu a drganiami wywołanymi w rezonatorze. Nieliniowość ta ma charakter funkcji tangensa hiperbolicznego (Fletcher [3], McIntyre, Schumacher, Woodhouse [9]), co opisane zostało w rozdziale 2.3.4. Wielkość x0 w równaniu (3.5) określa początkowe odchylenie centralnej części strumienia powietrza od krawędzi wargi instrumentu. Konieczność uwzględnienia tej wielkości wynika z faktu, iż nie zawsze strumień powietrza zasilającego piszczałkę jest kierowany centralnie na jego wargę, co ma istotny wpływ na brzmienie instrumentu (dźwięk generowany przy wykorzystaniu modelu matematycznego instrumentu). Wielkość ta oznaczona przez h0 uwzględniona została na rys.2.12. Dokładne rozważania na temat kształtowania strumienia powietrza zasilającego piszczałkę i jego interakcji z wargą instrumentu, poparte opisem matematycznym omawianych zjawisk, przedstawione są szeroko w literaturze [14], [15]. Siła Fi oddziałująca na i-ty oscylator układu rezonatora (rys.3.5) określona jest zależnością [8]:
gdzie tpdi jest dodatkowym opóźnieniem strumienia powietrza spowodowanym jego odchyleniem. Prędkość propagacji fali poprzecznej wywołanej w strumieniu powietrza określa się często jako prędkość o wartości dwukrotnie mniejszej od prędkości fali podłużnej w tym strumieniu. Wymaga to uwzględnienia odpowiedniego opóźnienia w wyrażeniu opisującym odchylenia w strumieniu pobudzającym. Jak wynika z zależności (3.4) opóźnienie fali poprzecznej w stosunku do opóźnienia fali podłużnej w strumieniu powietrza nie jest w całym zakresie widma dwukrotnie większe. Opóźnienie to jest funkcją częstotliwości (różne dla kolejnych modów). Określając prędkość strumienia powietrza jako wielkość proporcjonalną do pierwiastka z wartości ciśnienia powietrza zasilającego instrument, otrzymuje się dla pierwszego modu drgań opóźnienie [8]:
gdzie tfinal jest opóźnieniem strumienia w stanie ustalonym. Uwzględniając zależność opóźnienia ti od częstotliwości, dla kolejnego modu drgań otrzymuje się [8]:
gdzie tfinal jest opóźnieniem strumienia w stanie ustalonym. Uwzględniając zależność opóźnienia ti od częstotliwości, dla kolejnego modu drgań otrzymuje się [8]:
gdzie wartość Tp dobiera się z reguły w sposób eksperymentalny, a oznacza ona czas opadania poziomu ciśnienia od wartości maksymalnej Pstart do wartości w stanie ustalonym Pfinal [16]. Ostatecznie, drgania pojedynczego i-tego oscylatora z rys.3.5, opisać można równaniem różniczkowym drugiego rzędu:
gdzie Ri jest rezystancją mechaniczną, a Ki sprężystością i-tego oscylatora. Rozwiązując równanie (3.11) z wykorzystaniem zależności (3.4)-(3.10) (określenie siły przyłożonej do i-tego oscylatora), dla kolejnych modów drgań, uzyskuje się:
skąd, przy wykorzystaniu zależności (3.2), otrzymuje się funkcję im(t) będącą przebiegiem czasowym dźwięku syntetycznego, uzyskanego przy wykorzystaniu omawianego modelu. W przeprowadzonych powyżej rozważaniach nie został uwzględniony wpływ kształtu korpusu i nieciągłości w jego przekroju na przebieg oscylacji w słupie powietrza ograniczonym korpusem instrumentu i generowany dźwięk. Zjawiska te mogą być opisane w dziedzinie częstotliwości z wykorzystaniem impedancji akustycznej Z(f) oraz w dziedzinie czasu z wykorzystaniem odpowiedzi impulsowej h(t) lub funkcji odbicia R-(t). W określeniu funkcji odbicia wykorzystuje się opis pola akustycznego wewnątrz korpusu instrumentu w postaci fal bieżących w kierunku dodatnim i ujemnym (rys.3.6). Opis taki pozwala na określenie zjawisk zachodzących na nieciągłościach profilu korpusu (wielokrotne odbicia) i ich wpływ na odpowiedź impulsową korpusu instrumentu. Funkcja odbicia R-(t) jest często obliczana jako transformata Fouriera ze współczynnika odbicia R-(f) związanego ze sferycznymi falami bieżącymi ciśnienia p- i p+ w danym punkcie przekroju korpusu instrumentu [17]:
W przypadku tym funkcja odbicia R-(t) określana jest od strony korpusu związanej z kierunkiem dodatnim osi x (kierunek ujemny fali bieżącej na rys.3.6). Postępowanie jest jednak analogiczne w przypadku określenia funkcji odbicia R+(t) od przeciwnej strony.
Rys.3.6. Sferyczne fale bieżące ciśnienia wewnątrz korpusu o kształcie konicznym.
Rozwiązanie równania falowego dla fal sferycznych w słupie powietrza o kształcie konicznym przyjmuje postać [17]:
PowrótW obecnym terminie strona jeszcze w przygotowaniu.
Zapraszamy juz niedlugo !
.