Falowodowe
modelowanie fortepianu
Opis metody
falowodowej
Modelowanie
instrumentów strunowych
Fortepian -
budowa
Modelowanie fizyczne jest formą syntezy dźwięku działającą w oparciu o modele fizyczne instrumentów akustycznych. Tego rodzaju synteza pozwala, nie tylko na stosunkowo wierną syntezę dźwięków naturalnych, ale jednocześnie umożliwiają uwzględnienie modelowania procesów modulacyjnych. Stanowi to niewątpliwą zaletę w porównaniu do innych metod syntezy dźwięku. Modelowanie fizyczne, od niedawna stosowane w elektronicznych instrumentach muzycznych, znalazło szerokie zastosowanie w przypadku syntezy dźwięku takich instrumentów jak gitara, saksofon, trąbka czy flet. Jednen ze sposobów modelowania fizycznego polega na wykorzystaniu matematycznego modelu zjawisk falowych, a konkretnie na rozwiązywaniu równania falowego opisującego drgania w rozpatrywanym ośrodku np. struny czy też słupa powietrza w przypadku instrumentu dętego. Rozwiązaniem równania jest czasowy przebieg szukanego dźwięku syntetycznego. Istotną, jednakże wadą metody modelowania fizycznego jest jej duża złożoność obliczeniowa co mocno odbija się na popularności jej zastosowania w instrumentach elektronicznych.
Metoda modelowania falowodowego, zwana czasem metodą cyfrowego modelowania folowodowego (ang. digital waveguide modeling). została opracowana na początku la 90-tych.Głównym założeniem tej metody jest modelowanie przy pomocy cyfrowego falowodu propagacji fal bieżących składających się na falę stojącą w danym instrumencie. Metoda falowodowa pozwala na zastosowanie jej do celów syntezy dźwięku dokonywanej w czasie rzeczywistym. W oparciu o nią, nie tylko stworzono szereg modeli falowodowych wielu instrumentów klasycznych, lecz również z powodzeniem zastosowano przy próbach syntezy mowy oraz śpiewu.
Powrót
Rozważania teoretyczne dotyczące dotyczące generowania dżwięku, należy dla uproszczenia rozpocząć założeniem, że mamy do czynienia ze struną idealną, czyli idealnie giętką, sprężystą i bezstratną.
Równanie falowe opisujące przemieszczenie y struny rego typu ma postać:
gdzie : y - wychylenie, K - naprężenie struny, e - liniowa gęstość masy , x - współrzędna leżąca na osi równoległej do struny.Rozwiązanie ogólne tego równania może zostać przedstawione jako superpozycja dwóch fal bieżących opisanych równaniem
Funkcje yp oraz y1, reprezentują fale bieżące, poruzające się w przeciwnych kierunakach wzdłuż osi x.
Modeelowanie falowodowe sprowadza się w istocie do zaprogramowania procesora sygnałowego w taki sposób, aby na jego wyjściu otrzymać przebieg fali dźwiękowej jak najbardziej zbliżonej do barwy dźwięku modelowanego instrumentu. Wymaga to jednak przekształcenia fal bieżących z postaci czasowej na cyfrową. Koniecznością staje się więc spróbbkowanie ich amplitudy. Typową i najczęściej wystarczającą z punktu widzenia jakości jest częstotliwość fs = 44.1 kHz.Po operacji spróbkowania, zmienne ciągłe można zastąpić dyskretnymi i po kilku przekształceniach otrzmać równanie dyskretne postaci :
Na bazie
powyższego równania możliwe jest tworzenie modeli
falowodów cyfrowych o różnych, zakładanych z góry,
stopniach idealności (modele bezstratne, stratne , z
uwzględnieniem dyspersji, skończonej sztywności
zakończeń struny itp.). Najprostszym przykładem może być
następująca interpretacja powyższego równania :
wyrażenie 
można potraktować jako wyjście linii
opóźniającej o długości m próbek, której
wejściem jest 
. Odejmowanie dodatniej wartości m od
argumentu n odpowiada opóźnianiu fali o m
próbek. Podobnie dla wyrażenia 
, przy
czym w tym przypadku zwiększanie wartości m powoduje
przyspieszanie fali o m próbek, a wyjściem jest 
.
Ilustracją takiej interpretacji jest poniższy rysunek przy
czym górny rząd opóźnień odpowiada fali biegnącej w
prawo (y+), a dolny fali
biegnącej w lewo (y-).
Cyfrowa symulacja idealnego bezstratnego falowodu z punktami obserwacji dla x = 0 oraz x = 3X
Więcej informacji teoretycznych na temat falowodowej metody modelowania instrumentów muzycznych na stronie ......
Fortepian pojawił się po raz pierwszy w 1709 roku, zbudowany przez Bartolomeo Cristofori z Florencji. Instrument ten jest następcą klawesynu. Główną zaletą fortepianu jest możliwość wydobywania dźwięków o różnej dynamice, co pozwala na o wiele większe możliwości artykulacyjne gry, niż w przypadku klawesynu. Większość fortepianów wyposażona jest w klawiaturę liczącą 88 klawiszy.
Główne elementy składające się na fortepian to klawiatura, mechanizm młotkowy, struny naciągnięte na ramie oraz pudło rezonansowe. Struny połączone są z pudłem rezonansowym poprzez mostek, którego zadaniem jest przekazywanie drań pomiędzy tymi elementami. Głównym źródłem dźwięku jest pudło rezonansowe.Typowy fortepian koncertowy posiada 243 struny o różnych długościach od około 5 cm do 2 m. Wśród nich znajduje się 8 pojedynczych strun owiniętych jedną lub dwiema warstwami drutu (zwykle miedzianego), 5 par strun także owiniętych drutem, 7 grup po 3 owinięte struny oraz 68 grup po 3 nie owinięte struny. Pudło rezonansowe zwykle wykonane jest z drewna jodłowego o grubości rzędu 1 cm.
W celu zapewnienia odpowiedniej głośności dźwięku struny muszą być naciągnięte na ramę z bardzo dużą siłą przekraczającą 1000 N. Całkowita siła, z jaką struny oddziaływują na ramę wynosi ponad 20 ton, dlatego rama wykonana jest z żeliwa, a jej kształt zapewnia odpowiednią wytrzymałość.
Mechanizm młotkowy odpowiedzialny jest za pobudzenie struny do drgań pod wpływem naciśniętego klawisz. Na mechanizm ten składa się bardzo skomplikowany system dźwigni oraz elementów pomocniczych. Cały układ pozwala na jednokrotne uderzenie młoteczka w strunę (bądź struny) podczas jednokrotnego naciśnięcia klawisza i pozwala na wybrzmiewanie dźwięku do chwili zwolnienia klawisza. Dźwignie mechanizmu młotkowego powodują, iż młoteczek porusza się z prędkością około 5.5 razy większą od szybkości naciskania klawisza, a statyczna siła wymagana dla poruszenia systemu dźwigni wynosi około 45 g . Badania wykazały, że dynamika uderzania w klawisze (stosunek gry ff do pp), jaką uzyskują pianiści wynosi około 21 dB. Pozwala to na uzyskanie różnicy poziomów głośności dźwięku rzędu 30 - 35 dB .
Bardzo istotny wpływ na barwę dźwięku mają struny instrumentu. Zwiększanie siły ich naciągu powoduje większą efektywność generowania dźwięku, wymaga to jednak stosowania grubszego drutu. Grubsze struny posiadają natomiast większą sztywność, co wpływa na zwiększanie energii składowych nieharmonicznych dźwięku. Z tego powodu niskie struny owijane są dodatkowo drutem (jedną lub dwiema warstwami) w celu zwiększenia ich masy, a ich grubość pozostaje względnie mała. Średnica nawiniętego drutu waha się od 2 do 1/4 średnicy samej struny.
Młoteczki powinny spełniać odpowiednie parametry twardości, gdyż od tego także zależy barwa dźwięku. Do drewnianego młoteczka przyklejony jest mocno naciągnięty filc. Powstałe w ten sposób napięcie powierzchniowe powoduje, że twardość młoteczka zmienia się w zależności od dynamiki gry. Młoteczek staje się twardszy dla dźwięków głośnych i generowana jest dla nich większa ilość składowych harmonicznych.
Od proporcji masy struny do masy młoteczka zależy czas ich zetknięcia. Młoteczki wysokich dźwięków są lżejsze od niskich w celu zrównoważenia czasu kontaktu. Dla strun niskich czas kontaktu wynosi ok. 20% trwania okresu, dla strun bardzo wysokich - blisko 100%. Optymalny czas kontaktu (z punktu widzenia ilości przekazanej energii) wynosi ok. 50% trwania okresu . Generalnie czas kontaktu młoteczka ze struną wynosi od 1 do 4 ms; oznacza to czas, w którym fala przebywa odległość około 30 cm (dla 1 ms).
Czas wybrzmiewania dźwięku fortepianu zależy w znacznym stopniu od tempa oddawania zgromadzonej energii przez struny. Struny są bowiem podstawowym “zbiornikiem” energii drgań w instrumencie. Tempo oddawania energii zależy od sprzężenia pomiędzy strunami, mostkiem i pudłem rezonansowym. Czas wybrzmiewania dźwięku wynosi od 0.2 do 50s (odpowiednio dla bardzo wysokich i bardzo niskich dźwięków) [15].